北航数学论坛学术报告

暨科学与工程计算论坛-智能计算系列报告

偏微分方程的随机神经网络方法

王飞

（西安交通大学）

报告时间：15：30-16：30，2025-12-07（星期日）

报告地点： 沙河校区国实E806

内容简介：传统数值方法是现代科学计算的可靠基础。成就显著但仍存在局限，如复杂几何下网格生成困难、全局结构表达能力不足、不同几何或边界条件需逐案重组系统、维度灾难导致计算成本急剧上升，以及在数据融合与不确定性量化方面的不足。近年来，基于神经网络的新型计算范式逐渐兴起，凭借强大的表示能力有望突破这些瓶颈。然而，传统的训练型神经网络方法受限于非线性、非凸优化的困难，导致其精度与效率受限。为此，我们提出了一类结合传统数值格式严谨性与神经网络灵活性的随机神经网络（RaNN）方法。该框架涵盖 RaNN–Petrov–Galerkin（RaNN–PG）、局部随机神经网络–间断Galerkin（LRaNN–DG）、LRaNN–HDPG 以及 LRaNN–有限差分方法。同时，我们提出了自适应生长随机神经网络（AG–RaNN）策略，利用先验与后验信息捕捉解的关键特征，自适应地确定随机参数分布并动态调整网络结构，从而显著提升逼近能力。此外，我们探索了 RaNN 在算子学习（Operator Learning）中的加速作用，使参数化偏微分方程的训练更高效。数值结果表明，RaNN 方法具有无网格、结构保型、逼近灵活等优点，以较少的自由度即可实现高精度求解，并可自然拓展至高维与时变问题。研究显示，RaNN 为融合传统数值方法与现代机器学习、实现偏微分方程的高效求解提供了一个极具潜力的新途径。

报告人简介：王飞，西安交通大学数学与统计学院教授、博士生导师，Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 副主编。2010年获浙江大学数学博士学位。2010年—2012年，在华中科技大学任教；2012年－2013年，为美国爱荷华大学客座助理教授；2013年－2016年，为美国宾州州立大学Research Associate；2015年入选西安交通大学青年拔尖人才B类（副教授），2017年入选陕西省青年百人，2022年入选西安交通大学青年拔尖人才A类（教授）。研究领域为数值分析、科学计算和机器学习，主要研究兴趣包括：偏微分方程数值解，变分不等式的数值方法，深度学习与算子学习等。主持国家自然科学基金重大研究计划培育项目1项、面上项目2项、青年基金1项。已在SINUM，Numer. Math.，Math. Comp.，IMAJNA，CMAME，JCP等重要期刊发表论文六十篇。

邀请人：王坤